আমার প্রশ্ন, ইউক্লিডের উত্তর। মৌলিক সংখ্যার অসীমত্ব।
বন্ধুরা,
আবারো ফিরে আসলাম মৌলিক সংখ্যা নিয়ে কিছু কথা বলতে। মৌলিক সংখ্যা বা
প্রাইম নাম্বার কি? সহজ কথায় যে সকল সংখ্যাকে 1 এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য
কোনো সংখা দিয়ে ভাগ করা যায় না তাকেই বলে মৌলিক সংখ্যা বা প্রাইম নাম্বার।
যেমন- 2,3,5,7,11…….একটা ব্যাপার খেয়াল করবেন, শুধু 2 ছাড়া অন্য সব প্রাইম
নাম্বার বিজোর এবং এটাই সবচেয়ে ছোট প্রাইম নাম্বার। আর যে সংখ্যা গুলো
প্রাইম নয় তাদেরকে বলা হয় যৌগিক বা কম্পোজিট (Composite) নাম্বার। যেমন-
4,6,8,9,10,12…… সকল যৌগিক বা কম্পোজিট নাম্বারকে মাত্র একভাবেই প্রাইম
নাম্বার দ্বারা প্রকাশ করা যায়, যেমন- 12=22*3. অন্য কোনো ভাবে চাইলেও 2 আর
3 দিয়ে 12 কে প্রকাশ করা যাবে না।
এখন আমার প্রশ্ন হচ্ছে প্রাইম নাম্বার কত গুলো আছে? প্রাইম নাম্বার কি অসীম সংখ্যক নাকি এর শেষ আছে? এই কথার উত্তর গনিতবিদ ইউক্লিড শত বছর আগেই অনেক সুন্দর ভাবে দিয়ে গেছেন, আর আজ আমার উদ্দেশ্য এই সুন্দর উত্তরটা আপনাদের কাছে আরেকবার উপস্থাপন করা। চলুন দেখি ইউক্লিডের উত্তর-
ধরা যাক, প্রাইম নাম্বারের শেষ আছে এবং সবচেয়ে বড় আর শেষ প্রাইম নাম্বারটা হল Pn, এখন আমরা এক কাজ করি, Pn সহ এর আগে যত প্রাইম নাম্বার আছে সবগুলো গুন করি, তাহলে ব্যাপারটা হবে এইরকম-
2*3*5*7*11*………………* Pn
এই গুনফলটা নিঃসন্দেহে একটা বড় যৌগিক সংখ্যা এবং সকল প্রাইম নাম্বার দিয়ে বিভাজ্য। এখন এই উপরের গুনফলের সাথে যদি আমরা 1 যোগ করে দেই তাহলে ব্যাপারটা কি হবে?
PL=2*3*5*7*11*………………* Pn+1
অর্থাৎ গুনফলের সাথে 1 যোগ করে সেই সংখ্যাটাকে PL ধরলাম। এই PL সংখ্যাটা Pn থেকে বড় এবং PL কে যেকোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে কিছু না কিছু ভাগশেষ থাকবে কারন এই সংখ্যাটা আসলে সবগুলো প্রাইম নাম্বার দিয়ে তৈরি একটা যৌগিক সংখ্যা থেকেও 1 বেশি। তার মানে PL একটা প্রাইম নাম্বার যেটা আবার থেকে Pn বড়। কিন্তু আমরা Pn কেই সবচেয়ে বড় প্রাইম হিসেবে ধরে নিয়েছিলাম আর এখন দেখলাম PL>Pn। তার মানে হচ্ছে প্রাইম নাম্বারের কোনো শেষ নেই, অসীম সংখ্যক প্রাইম নাম্বার আছে। আজ এতটুকুই, প্রাইম নাম্বার নিয়ে আরো কিছু লেখা নিয়ে পরে দেখা হবে
আম-জামের কেচ্ছা (AM-GM Inequality)</ul>
এক্কেবারে হৃদয় থেকে একটা সত্যি কথা বলছি- অসমতা জিনিসটা একদম শুরু থেকেই আমার দু চোখের বিষ ছিল। অসমতা আমার এতটাই বিরক্তিকর লাগত যে ম্যাথ ক্যাম্পে হেলাল ভাইয়ের অসমতা ক্লাসে আমি ১০ মিনিটের মাথায় ঘুমিয়ে পড়েছিলাম। তবে সময়ের বিবর্তনে অসমতা জিনিসটা একটু একটু ভাল লাগা শুরু হয়েছে। “ম্যাথোস্কোপ”-এ আমি কশি-শোয়ার্য অসমতা নিয়ে লিখছি, ভাল লেগেছে বলেই লিখেছি। আজ লিখছি the gem among-st inequalities: AM-GM Inequality নিয়ে।
পরীক্ষায় একবার এসেছিল, তাই সতর্কতা অবলম্বনের তাড়নাতেই AM-GM Inequality প্রমাণ করার একটা চেষ্টা চালালাম। ঐ রাতে ইন্টারনেট ধর্মঘট ঘোষণা করেছিল। ফলে Polya এর প্রমাণটা দেখে নিতে পারিনি। নুরুল ইসলামের বই এর প্রমাণটা ভুল, আর নিউরনে অনুরণনে দেওয়া কায়কোবাদ স্যারের প্রমাণটা দুর্বিষহ রকমের বিদ্ঘুটে। সহজ কিছু চাই- এমন সময়ে মনে পড়ল হেলাল ভাইএর একটা কথা। log ফাংশন থেকে AM-GM Inequality এর একটা intuitive proof পাওয়া যায়। ভাবলাম, যদি intuitive proof পাওয়া যায় তাহলে formalized proof ও নিশ্চয়ই পাওয়া যাবে। ২ ঘণ্টা গুতোবার পরে পারলাম। সেই প্রমাণটা পরীক্ষার মাঝখানে প্রকাশ করে সকলকে বিব্রত করার ইচ্ছে হল না। তাই পরীক্ষার পরেই দিচ্ছি।
ধরে নেওয়া যাক, x1, x2, …. ,xN হল Nটি ধনাত্মক সংখ্যা। এদের প্রত্যেকের জন্য আমরা y1, y2, … yN এর মানগুলো নির্ণয় করি- যেখানে y = log x, আমরা এবার এই ফাংশনের লেখচিত্র এঁকে ফেলব। x1, x2, …. ,xN এর গাণিতিক গড় x’ = (x1 + x2 + …. + xN) / N; গ্রাফে (x’ , log x’)বিন্দুটা চিহ্নিত করি।
এবার আমরা নতুন দুটি রাশি নিয়ে চিন্তা করি-
X = x – x’
Y = log x – log x’
এটা করার মাধ্যমে আমরা আসলে লেখচিত্রের মূলবিন্দুটা (x’ , log x’) বিন্দুটাতে সরিয়ে নিয়েছি। এবার হবে মজা। লক্ষ করলেই দেখা যাবে যে X1 + X2 + … + XN = 0; এর মানে হল নতুন কাঠামোতে মূলবিন্দুর ডানদিকের বিন্দুগুলোর যোগফল আর বামদিকের বিন্দুগুলোর যোগফল সমান।
যদি Y1, Y2, … YN বিন্দুগুলো y = log x এর উপর (ছবিতে C curve) না থেকে যদি(x’ , log x’) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের (ছবিতে T curve) উপর থাকত, তাহলে আমরা বলতে পারতাম যে নতুন মূলবিন্দুর জন্য আমরা বলতে পারতাম যে X এবং Y variable দুটি Y = kX সমীকরণের দ্বারা সম্পর্কিত। সেক্ষেত্রে, Y1 + Y2+ … + YN = 0 অর্থাৎ মূলবিন্দুর উপরে আর নিচে থাকা Yগুলোর যোগফলও শূণ্য হত।
কিন্তু আমাদের Yগুলো এর C উপর রয়েছে। যেহেতু C curve সর্বতোভাবে T curve এর নিচে অবস্থান করে সেহেতু C curve এর উপর থাকা Yগুলোর যোগফল T curve এর উপর থাকা Yগুলোর যোগফলের চেয়ে কম হবে। সুতরাং আমরা বলতে পারি, Y1 + Y2+ … + YN এর মান এখন আর শুণ্য হবে না। বরং Y1 + Y2+ … + YN এর মান হনে ঋণাত্মক। অর্থাৎ,
Y1 + Y2+ … + YN (log x1 – log x’) + (log x2 – log x’) + … + (log xN – log x’) log (x1 . x2 … xN) x1 . x2 … xN x’ > (x1 . x2 … xN) ^(1/N)
এটাই আমাদের কাঙ্ক্ষিত AM-GM Inequality
এই প্রমাণটার একটা বিশেষত্ব আছে- প্রমাণের ধরণটা বেশ generalized. যখনই কতগুলো positive observation এর জন্য কোন ফাংশনের সাপেক্ষে observation গুলোর গড়ের functional value আর observation গুলোর functional value এর গড়ের মাঝে তুলনা করার দরকার পড়ে তখনই এই ধরণের প্রমাণটা বেশ কাজে লাগে। এরকম একটি উদাহরণ হল- কোন বৃত্তে অন্তর্লিখিত n gon গুলোর মাঝে সুষম n gon টির ক্ষেত্রফলই সর্বোচ্চ- এটার প্রমাণ।
এই ২টা প্রমান যাদের ভাল লাগসে তারা এখহুনি কমেন্ত করেন। ভাল থাকবেন।
এখন আমার প্রশ্ন হচ্ছে প্রাইম নাম্বার কত গুলো আছে? প্রাইম নাম্বার কি অসীম সংখ্যক নাকি এর শেষ আছে? এই কথার উত্তর গনিতবিদ ইউক্লিড শত বছর আগেই অনেক সুন্দর ভাবে দিয়ে গেছেন, আর আজ আমার উদ্দেশ্য এই সুন্দর উত্তরটা আপনাদের কাছে আরেকবার উপস্থাপন করা। চলুন দেখি ইউক্লিডের উত্তর-
ধরা যাক, প্রাইম নাম্বারের শেষ আছে এবং সবচেয়ে বড় আর শেষ প্রাইম নাম্বারটা হল Pn, এখন আমরা এক কাজ করি, Pn সহ এর আগে যত প্রাইম নাম্বার আছে সবগুলো গুন করি, তাহলে ব্যাপারটা হবে এইরকম-
2*3*5*7*11*………………* Pn
এই গুনফলটা নিঃসন্দেহে একটা বড় যৌগিক সংখ্যা এবং সকল প্রাইম নাম্বার দিয়ে বিভাজ্য। এখন এই উপরের গুনফলের সাথে যদি আমরা 1 যোগ করে দেই তাহলে ব্যাপারটা কি হবে?
PL=2*3*5*7*11*………………* Pn+1
অর্থাৎ গুনফলের সাথে 1 যোগ করে সেই সংখ্যাটাকে PL ধরলাম। এই PL সংখ্যাটা Pn থেকে বড় এবং PL কে যেকোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে কিছু না কিছু ভাগশেষ থাকবে কারন এই সংখ্যাটা আসলে সবগুলো প্রাইম নাম্বার দিয়ে তৈরি একটা যৌগিক সংখ্যা থেকেও 1 বেশি। তার মানে PL একটা প্রাইম নাম্বার যেটা আবার থেকে Pn বড়। কিন্তু আমরা Pn কেই সবচেয়ে বড় প্রাইম হিসেবে ধরে নিয়েছিলাম আর এখন দেখলাম PL>Pn। তার মানে হচ্ছে প্রাইম নাম্বারের কোনো শেষ নেই, অসীম সংখ্যক প্রাইম নাম্বার আছে। আজ এতটুকুই, প্রাইম নাম্বার নিয়ে আরো কিছু লেখা নিয়ে পরে দেখা হবে
আম-জামের কেচ্ছা (AM-GM Inequality)</ul>
এক্কেবারে হৃদয় থেকে একটা সত্যি কথা বলছি- অসমতা জিনিসটা একদম শুরু থেকেই আমার দু চোখের বিষ ছিল। অসমতা আমার এতটাই বিরক্তিকর লাগত যে ম্যাথ ক্যাম্পে হেলাল ভাইয়ের অসমতা ক্লাসে আমি ১০ মিনিটের মাথায় ঘুমিয়ে পড়েছিলাম। তবে সময়ের বিবর্তনে অসমতা জিনিসটা একটু একটু ভাল লাগা শুরু হয়েছে। “ম্যাথোস্কোপ”-এ আমি কশি-শোয়ার্য অসমতা নিয়ে লিখছি, ভাল লেগেছে বলেই লিখেছি। আজ লিখছি the gem among-st inequalities: AM-GM Inequality নিয়ে।
পরীক্ষায় একবার এসেছিল, তাই সতর্কতা অবলম্বনের তাড়নাতেই AM-GM Inequality প্রমাণ করার একটা চেষ্টা চালালাম। ঐ রাতে ইন্টারনেট ধর্মঘট ঘোষণা করেছিল। ফলে Polya এর প্রমাণটা দেখে নিতে পারিনি। নুরুল ইসলামের বই এর প্রমাণটা ভুল, আর নিউরনে অনুরণনে দেওয়া কায়কোবাদ স্যারের প্রমাণটা দুর্বিষহ রকমের বিদ্ঘুটে। সহজ কিছু চাই- এমন সময়ে মনে পড়ল হেলাল ভাইএর একটা কথা। log ফাংশন থেকে AM-GM Inequality এর একটা intuitive proof পাওয়া যায়। ভাবলাম, যদি intuitive proof পাওয়া যায় তাহলে formalized proof ও নিশ্চয়ই পাওয়া যাবে। ২ ঘণ্টা গুতোবার পরে পারলাম। সেই প্রমাণটা পরীক্ষার মাঝখানে প্রকাশ করে সকলকে বিব্রত করার ইচ্ছে হল না। তাই পরীক্ষার পরেই দিচ্ছি।
ধরে নেওয়া যাক, x1, x2, …. ,xN হল Nটি ধনাত্মক সংখ্যা। এদের প্রত্যেকের জন্য আমরা y1, y2, … yN এর মানগুলো নির্ণয় করি- যেখানে y = log x, আমরা এবার এই ফাংশনের লেখচিত্র এঁকে ফেলব। x1, x2, …. ,xN এর গাণিতিক গড় x’ = (x1 + x2 + …. + xN) / N; গ্রাফে (x’ , log x’)বিন্দুটা চিহ্নিত করি।
এবার আমরা নতুন দুটি রাশি নিয়ে চিন্তা করি-
X = x – x’
Y = log x – log x’
এটা করার মাধ্যমে আমরা আসলে লেখচিত্রের মূলবিন্দুটা (x’ , log x’) বিন্দুটাতে সরিয়ে নিয়েছি। এবার হবে মজা। লক্ষ করলেই দেখা যাবে যে X1 + X2 + … + XN = 0; এর মানে হল নতুন কাঠামোতে মূলবিন্দুর ডানদিকের বিন্দুগুলোর যোগফল আর বামদিকের বিন্দুগুলোর যোগফল সমান।
যদি Y1, Y2, … YN বিন্দুগুলো y = log x এর উপর (ছবিতে C curve) না থেকে যদি(x’ , log x’) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের (ছবিতে T curve) উপর থাকত, তাহলে আমরা বলতে পারতাম যে নতুন মূলবিন্দুর জন্য আমরা বলতে পারতাম যে X এবং Y variable দুটি Y = kX সমীকরণের দ্বারা সম্পর্কিত। সেক্ষেত্রে, Y1 + Y2+ … + YN = 0 অর্থাৎ মূলবিন্দুর উপরে আর নিচে থাকা Yগুলোর যোগফলও শূণ্য হত।
কিন্তু আমাদের Yগুলো এর C উপর রয়েছে। যেহেতু C curve সর্বতোভাবে T curve এর নিচে অবস্থান করে সেহেতু C curve এর উপর থাকা Yগুলোর যোগফল T curve এর উপর থাকা Yগুলোর যোগফলের চেয়ে কম হবে। সুতরাং আমরা বলতে পারি, Y1 + Y2+ … + YN এর মান এখন আর শুণ্য হবে না। বরং Y1 + Y2+ … + YN এর মান হনে ঋণাত্মক। অর্থাৎ,
Y1 + Y2+ … + YN (log x1 – log x’) + (log x2 – log x’) + … + (log xN – log x’) log (x1 . x2 … xN) x1 . x2 … xN x’ > (x1 . x2 … xN) ^(1/N)
এটাই আমাদের কাঙ্ক্ষিত AM-GM Inequality
এই প্রমাণটার একটা বিশেষত্ব আছে- প্রমাণের ধরণটা বেশ generalized. যখনই কতগুলো positive observation এর জন্য কোন ফাংশনের সাপেক্ষে observation গুলোর গড়ের functional value আর observation গুলোর functional value এর গড়ের মাঝে তুলনা করার দরকার পড়ে তখনই এই ধরণের প্রমাণটা বেশ কাজে লাগে। এরকম একটি উদাহরণ হল- কোন বৃত্তে অন্তর্লিখিত n gon গুলোর মাঝে সুষম n gon টির ক্ষেত্রফলই সর্বোচ্চ- এটার প্রমাণ।
এই ২টা প্রমান যাদের ভাল লাগসে তারা এখহুনি কমেন্ত করেন। ভাল থাকবেন।
